Apprendisti Filosofi

Nel corso dell'800 il processo di unificazione delle scienze pare giungere a compimento (come Spencer prevedeva). Alla Geometria, tra le scienze, posizione privilegiata perché si riteneva "pura", cioè valida a prescindere dall'esperienza, alla quale anzi si potevano imporre le regole geometriche (Kant).

Tra 800 e 900 l'unità della geometria si infrange con von Helmhotz che distingue tra

• geometria fisica (scienza sperimentale che usa strumenti matematici per analizzare lo spazio concreto
• geometria pura (che usa la logica formale)

che prendono l'avvio di elaborazione di modelli di geometria diversi.

Partendo dall'analisi della realtà è possibile elaborare "geometrie non euclidee", in particolare due in cui la somma degli angoli interni è diverda da due angoli retti:

• geometria iperbolica di Lobacesky (la somma è minore di 180 gradi): dato un punto e una retta, esistono almeno due rette passanti dal punto a parallele alla retta
• geometria ellittica di Riemann (la somma è maggiore di 180 gradi): dato un punto e una retta, non esiste nessuna retta parallela

La crisi della geometria coincide con l'emergere del cosiddetto "problema dei fondamenti" dal momento che la geometria era iol fondamento di tutto l'edificio della matematica.

Il motivo ispiratore della ricerca del fondamento è di ispirazione kantiana: data l'esistenza della matematica, quali sono i principi che la rendono possibile.

Tre indirizzi:

• Logicismo (ricondurre la matematica alla logica)
• Formalismo (riduzione al linguaggio formale)
• Intuizionismo (irriducibile ad altre forme di conoscenza)

Tutte e le tre le scuole hanno la precondizione del riduzionismo della matematica non alla geometria euclidea ma all'aritmetica. Cartesio aveva fatto dei passi avanti in questa direzione con la sua geometria cartesiana ma questo programma viene messo in discussione con la scoperta del calcolo infinitesimale.Sarà solo grazie ai lavori di Dedekind e Cantor chesi potrà recuperare un rapporto tra infinitesimi e discreti. Particolare contributo fu quello di Giuseppe Peano che formalizza l'aritmetica come una logica del primo ordine, con tre primitivi:

• numero, uno e successore

e 5 postulati

1. 1 è un numero
2. il successore di un numero è un numero
3. due numeri non possono avere lo stesso successore
4. 1 non è successore di nessun numero
5. una proprietà dell'1 che appartiene anche al suo successore, appartiene a tutti i numeri

Il logicismo prevede la riduzione della matematica alla logica.

Frege delinea questa teoria in fondamenti dell'aritmetica. I numeri, secondo Frege, devono essere ricondotti a concetti puri del pensiero senza riferimenti empirici, come ad esempio i numeri, ricondotti alla teoria degli insiemi:

• 0: essere diverso da se stesso
• 1: contiene solo lo 0
• 2: contiene 0 e 1
• etc

La soluzione di Frege sarà però messa in crisi dalla scoperta dell'antinomia di Russell.

Rovesciamento del programma logicista è quello intuizionista di Brouwer: tra matematica, linguaggio e logica, la prima non necessita di nessun fondamento perché è il fondamento e la logica e il linguaggio una sua spiegazione formale.

Se non è possibile ridurre la matematica alla logica, sarà almeno possibile dimostrarne la sua coerenza, come prevedette il programma di Hilbert e per farlo cerò di ridurre la matematica a un linguaggio formalizzato

I teoremi di Godel del 1830 e 1831 dimostrarono che nemmeno questo era possibile:

- non esiste nessun numero finito di assiomi che sia "completo" rispetto alle proposizioni aritmetiche

I teoremi di Godel chiusero un'epoca. I suoi risultati sono paragonabili alla Critica della Ragion Pura per la conoscenza.  Anche la ragione, quando pretende di essere completa, incorre in antinomie insolubili.